포아송분포 (Poisson Distribution)

5. 포아송분포(Poisson Distribution)

• 포아송분포 : 일정 단위에서 평균 성공 수가 $\lambda$일 때 성공 횟수를 확률변수로 하는 분포

  포아송 분포는 $n$이 충분히 크고 성공확률 $p$가 매우 작을 때, 이항분포에 대한 근사로 활용이 됩니다. 예를 들어 어떤 공장에서 10시간(일정 단위)마다 평균적으로 2개의 불량품(평균 성공 수 $\lambda$)이 발생된다면 불량품이 하나도 발생하지 않을 확률부터 수십, 수백개가 발생할 확률까지 성공 횟수에 따른 확률을 다루는 분포입니다.

RP = rpois(n = 100 ,lambda = 2)

ggplot(NULL) +
  geom_bar(aes(x = as.factor(RP),fill = as.factor(RP))) +
  theme_bw() +
  xlab("성공횟수") + ylab("빈도") +
  theme(legend.position = 'none')

포아송분포는우리 실생활에 정말 많이 적용될 수 있는 분포입니다. 빈도로 조사된 데이터는 전부 포아송분포를 적용하여 분석할 수 있기 때문이죠. 또한 포아송분포는 ’nn번 중 성공 횟수’의 분포인 이항분포와 매우 밀접한 관련이 있습니다. 이항분포의 평균은 npnp이고 이는 곧 ’평균 성공 수’의 관점으로 바라 볼 수 있기 때문입니다. 포아송분포의 확률을 계산하는 확률함수는 다음과 같습니다. 또한 위 그래프에서 성공 횟수가 증가할 수록 빈도 수가 급격히 줄어드는 것을 확인할 수가 있습니다.

$$
Y\sim Poisson(\lambda)\sim 이면,
$$

$$
p(Y=y) = \frac {e^{-\lambda} \lambda^y} {y!}, \ y= 0 ,1,2 ,\cdots
$$

$$
E(Y)= \lambda \qquad V(Y)= \lambda
$$

포아송분포는 특이하게도 평균과 분산이 같습니다. 그래서 빈도 데이터에 적용하기가 적절하죠. 평균 빈도가 높다는 것은 그만큼 바운더리가 커진다는 것이고 바운더리가 커진다는 것은 분산이 크다고 해석할 수 있습니다.

예시

A도로의 1시간 당 통과 차량 수가 $\lambda = 20$인 포아송 분포를 따를 경우, 15대 이하의 차량이 통과할 확률을 계산하도록 하겠습니다.

ppois(q = 15,lambda = 20, lower.tail = TRUE)

$$
P[Y \leq 15] = 0.15
$$